計数値分布の母数に関する検定

第７章第４節で述べたように、ある確率Pで発生する事象がn回の試行の中で観測される回数をxとすると、x／nは、ある条件の下では近似的に正規分布に従うとみなすことができる。この性質を利用すれば、今までと同じように、二項分布の母数に関する検定を行うことができる。

ｎ回試行したとき、ある事象がｘ回発生したことが観測できたとする。この時、帰無仮説P＝P_０のもとでは、

は近似的に標準正規分布に従う。検定の方法は、通常のu検定と同じである。

どちらも二項分布に従う二つの母集団においてそれぞれｎ₁、ｎ₂回の試行を行ったとき、ある事象がそれぞれｘ₁、ｘ₂回観測されたとする。この時、帰無仮説P₁＝P₂＝Pのもとでは、

は近似的に標準正規分布に従う。なお、Pは未知であるから、を用いて推定した値を利用する。検定の方法は、通常のｕ検定と同じである。

第７章第４節で述べたように、ある単位で平均λ回発生する事象が、n単位の中で実際に観測される回数をx回とすると、x／nは、ある条件の下では近似的に正規分布に従うとみなすことができる。この性質を利用すれば、今までと同じように、ポアソン分布の母数に関する検定を行うことができる。

ｎ単位の中である事象がｘ回発生したことが観測できたとする。この時、帰無仮説λ＝λ_０のもとでは、

は近似的に標準正規分布に従う。検定の方法は、通常のu検定と同じである。

どちらもポアソン分布に従う二つの母集団においてそれぞれｎ₁、ｎ₂単位の中で、ある事象がそれぞれｘ₁、ｘ₂回観測されたとする。この時、帰無仮説λ₁＝λ₂＝λのもとでは、

は近似的に標準正規分布に従う。なお、λは未知であるから、を用いて推定した値を利用する。検定の方法は、通常のｕ検定と同じである。

データから作成した度数分布表が得られているとき、その度数分布に対応する確率分布が、何らかの特定の分布（たとえば、正規分布、ポアソン分布、など）であると見なしてかまわないかどうかを調べたい、という場合に、本節で紹介する適合度の検定が良く利用される。以下の例で考えてみる。

ある企業で、1年間にわたって従業員の遅刻回数を調べ、曜日ごとにまとめたところ、

というデータが得られた。曜日によって遅刻回数に違いがあるかどうかを調べたい。曜日によって違いがあるかどうかを調べたいのであるから、帰無仮説としては「遅刻回数の分布は曜日について一様である（一様分布に従う）」、対立仮説としては「遅刻回数の分布は曜日について一様分布ではない」ということになる。このように帰無仮説を設定すると、それぞれの曜日ごとの「期待発生回数（期待度数）」を計算することができる。この場合は曜日によって等しいのだから、５５÷５＝１１である。この時、

は近似的に、自由度φ＝ｋ−ｐ−１のχ²分布に従う。ｋは度数分布表の級の数、上の場合は5である。ｐは期待度数を計算するために、データから推定した母数の数である。この場合は推定した母数の数は0である。ここで、もし帰無仮説が成立していないとき、すなわちある特定の分布にしたがっていないときには、χ₀²の値は大き目の値を取ることが知られている。

今回のデータに当てはめて計算すると、

となる。

棄却域はχ₀²≧χ²（φ、α）で、今回の場合はα＝0.05とすると、χ₀²≧χ²（４、0.05）＝9.49となる。したがって、検定の結果、帰無仮説は棄却される。すなわち、遅刻の発生回数は曜日に関して一様ではない。曜日によって違いがある、ということが分かる。

まとめると、次のようになる。

手順1 仮説の設定

帰無仮説：母集団が、ある特定の分布に従う

対立仮説：母集団は、ある特定の分布には従っていない

手順2 有意水準と棄却域を設定する

有意水準αを設定する。通常はα＝0.05を採用することが多い。

棄却域：χ₀²≧χ²（ｋ−ｐ−1、α）

棄却域が、上側検定の棄却域になっていることに注意せよ

手順3 期待度数を計算する

必要に応じて、データから、想定した分布の母数の点推定値を計算し、それぞれの級における期待度数を計算する。

手順4 検定統計量を計算する

手順5 判定を行う

この検定も他のさまざまな検定と同じように、帰無仮説が棄却されれば、たとえば「正規分布にしたがっていない」とか「ポアソン分布にしたがっていない」という結論を出すことができる。しかしながら、帰無仮説が棄却されない場合、「正規分布にしたがっている」というような積極的な結論を出すことはできず、「正規分布にしたがっていないとは言えない」という、消極的なものの言い方になることに注意せよ。

本節で紹介する検定は、理論的には、複数の母集団が同じ分布に従っているかどうかを検定する「適合度の検定」である。しかしながら、データが分割表という形式で与えられることから、広く「分割表の検定」として知られている。

たとえば、次のようなデータが得られているとする。

ある講義で学生にレポートを提出させ、Ａ、Ｂ、Ｃの3段階で成績をつけたところ、人数が上の表のようになった。この時、クラスごとで「レポートの出来」に違いがあるだろうか。ここで、母集団が4つある（クラスごと）と考える。レポートの出来に違いがあるかどうかということは、それぞれの母集団に対して、Ａ、Ｂ、Ｃの出現確率が等しいかどうかを知りたい、ということに他ならない。

同じ問題をもう少し一般的に書いたのが表 16である。Ａ₁からＡ_aまで、全部でａ個の母集団があり、それぞれに対して、Ｂ₁からＢ_bまで、全部でｂ種類の分類（級）が考えられる。それぞれの母集団ごとの合計個数はTi・と表記し、それぞれの分類ごとの合計個数をT・jと表記する。また、総合計はTと表記する。母集団ｉにおける分類ｊの観測度数を、ｘijと表記する。この時、すべての母集団について、ある分類の発生する確率が等しいとすると、たとえば、Bjの発生確率は、であるから、ｉ番目の母集団で分類ｊが観測される個数の期待値は、となる。この時、帰無仮説のもとでは、

は自由度φ＝（ａ−１）（ｂ−１）のχ²分布に近似的に従う。あとは、第５節で述べた適合度検定と同じように行えば良い。この分割表の検定の場合、

帰無仮説：すべての母集団Ａｉにおいて、分類Ｂｊが発生する確率は等しい。

対立仮説：すべての発生確率が等しいわけではない（異なる発生確率を持つ母集団が含まれる）。

という仮説になる。また、基本的には適合度検定を行っているので、上側検定を行うことになる。

表 15のデータで実際に検定を行ってみると、

手順1 仮説の設定

帰無仮説：クラスごとで、レポートの成績がＡ、Ｂ、Ｃになる確率は等しい

対立仮説：レポートの成績がＡ、Ｂ、Ｃになる確率は、すべてのクラスで等しいわけではない

手順2 有意水準と棄却域を設定する

α＝0.05

棄却域：χ₀²≧χ²（（a-1）(b-1)、α）＝χ²（6、0.05）=12.59

手順3 期待度数及び検定統計量を計算する

手順4 判定を行う

帰無仮説は棄却される。したがって、クラスごとでA、B、Cになる確率は異なるといえる。すなわち、クラスごとでレポートの出来具合に違いがある。

となる。

1. 身近にあるデータで、度数表の形式にまとめることができるデータを集め、適合度の検定を行ってみよ。このようなデータを最低2組集め、検定せよ。
2. 身近にあるデータで、分割表の形式にまとめることができるデータを集め、分割表の検定を行ってみよ。このようなデータを最低2組集め、検定せよ。